Question

4．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-mx+lnx有極值，則函數(shù)f（x）的極值之和的取值范圍是（-∞，-3）．

Answer 1

分析 先求導，方程x²-mx+1=0在（0，+∞）上有根求出m的范圍，根據(jù)韋達定理即可化簡f（x₁）+f（x₂），根據(jù)m的范圍即可求出．

解答 解：∵f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=x-m+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-mx+1}{x}$，
∵f（x）存在極值，
∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即方程x²-mx+1=0在（0，+∞）上有根．
設方程x²-mx+1=0的兩根為x₁，x₂，
∴△=m²-4＞0，x₁+x₂=m＞0，x₁x₂=1
即m＞2
∴f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$（x₁²+x₂²）-m（x₁+x₂）+（lnx₁+lnx₂），
=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）²-x₁x₂-m（x₁+x₂）+lnx₁x₂，
=$\frac{1}{2}$m²-1-m²，
=-$\frac{1}{2}$m²-1＜-3，
故函數(shù)f（x）的極值之和的取值范圍是（-∞，-3）
故答案為：（-∞，-3）

點評 本題考查了導數(shù)函數(shù)極值的關系，以及韋達定理及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題