Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=n²-n．
（1）求a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=2b_n-a_n且b₁=4，證明：數(shù)列{b_n-2n}是等比數(shù)列，求{b_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）利用（1）b_n+1=2b_n-（2n-2），變形為b_n+1-2（n+1）=2（b_n-2n），即可證明．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和滿足S_n=n²-n，∴a₁=S₁=0；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
n=1時上式也成立，
∴a_n=2n-2．
（2）證明：∵數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=2b_n-a_n且b₁=4，
∴b_n+1=2b_n-（2n-2），變形為b_n+1-2（n+1）=2（b_n-2n），
∴數(shù)列{b_n-2n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2．
∴b_n-2n=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ+2n．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．