Question

17．已知f（x）是定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，若x•[f（x）+f（-x）]＜0，則x的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)，
∴不等式x•[f（x）+f（-x）]＜0等價(jià)為2x•f（x）＜0，
∵在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（$\frac{1}{2}$）=0，
則對(duì)應(yīng)的圖象如圖：
當(dāng)x＞0，f（x）＜0，由圖象知此時(shí)0＜x＜$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＜0，f（x）＞0，x＜-$\frac{1}{2}$，
綜上不等式的解集為（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$），
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．