Question

1．如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB=CD，EC⊥BD．
（1）求證：BE=DE；
（2）若∠BCD=120°，是否在線段AE上存在一點(diǎn)M，使得DM∥平面EBC，若存在，請指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BD中點(diǎn)為O，連接OC，OE，則CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，從而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分線，問題解決；
（2）M為線段AE的中點(diǎn)時，DM∥平面EBC，
證法一：取AB中點(diǎn)N，連接MN，DN，MN，易證MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可證得平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，于是DM∥平面BEC；
證法二：延長AD，BC交于點(diǎn)F，連接EF，易證AB=$\frac{1}{2}$AF，D為線段AF的中點(diǎn)，連接DM，則DM∥EF，由線面平行的判定定理即可證得結(jié)論

解答 證明：（1）設(shè)BD中點(diǎn)為O，連接OC，OE，則由BC=CD知，CO⊥BD，
又已知CE⊥BD，EC∩CO=C，
所以BD⊥平面OCE．

所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分線，
所以BE=DE．
（2）M為線段AE的中點(diǎn)時，DM∥平面EBC，理由如下：
證法一：
取AB中點(diǎn)N，連接MN，DN，

∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，
∴MN∥BE，又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
∴MN∥平面BEC，
∵△ABD是等邊三角形，
∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
∴ND∥BC，
又DN?平面BEC，BC?平面BEC，
∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，
∴DM∥平面BEC
證法二：延長AD，BC交于點(diǎn)F，連接EF，

∵CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
∵△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD=60°，∠ABC=90°，因此∠AFB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AF，
又AB=AD，
∴D為線段AF的中點(diǎn)，連接DM，DM∥EF，又DM?平面BEC，EF?平面BEC，
∴DM∥平面BEC．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直的判定定理與面面平行的判定定理的應(yīng)用，著重考查分析推理能力與表達(dá)、運(yùn)算能力，屬于中檔題．