Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x．
（1）求f（x）的最大值及取最大值時(shí)x的取值集合；
（2）在△ABC中，若f（A）=3，b+c=

3

a，求角B．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）首先根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出最值．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用正弦定理得，最后求出B的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x=

3

sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+

π

6

）+2
所以；當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

時(shí)，
即：{x|x=kπ+

π

6

}（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）_max=4
（2）利用（1）的結(jié)論，
由于0＜A＜π，
當(dāng)A=

π

3

時(shí)，f（A）=3．
進(jìn)一步利用：b+c=

3

a，
則：sinB+sinC=

3

sinA，
由于：A+B+C=π，
sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

所以：cosB+

3

sinB=

3

sin（B+

π

6

）=

3

2

根據(jù)三角函數(shù)的變換關(guān)系進(jìn)一步求得：B=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的最值，解三角形知識(shí)，正弦定理的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．