Question

若函數(shù)f（x）為定義域D上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]叫做等域區(qū)間．
（1）函數(shù)h（x）=x²（x≤0）是否是正函數(shù)？若是，求h（x）的等域區(qū)間，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知f(x)=x

1

2

是[0，+∞）上的正函數(shù)，求f（x）的等域區(qū)間；
（3）試探究是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先假設(shè)h（x）是正函數(shù)，則當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，

h(a)=b h(b)=a

即

a2=b b2=a

，判斷此方程是否有解即可；
（2）因?yàn)?span id="ljowzwz" class="MathJye">f(x)=x

1

2

是[0，+∞）上的正函數(shù)，然后根據(jù)正函數(shù)的定義建立方程組，解之可求出f（x）的等域區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的方程a²+a+m+1=0在區(qū)
間（-1，-

1

2

）內(nèi)有實(shí)數(shù)解進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）函數(shù)h（x）=x²（x≤0）不是正函數(shù)．理由如下：
因?yàn)楹瘮?shù)y=x²在（-∞，0]上單調(diào)遞減，若h（x）是正函數(shù)，則
當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，

h(a)=b h(b)=a

即

a2=b b2=a

，
消去b得a³=1，而a＜0，∴無(wú)解
所以函數(shù)h（x）=x²（x≤0）不是正函數(shù)．
（2）因?yàn)?span id="0mvdsvo" class="MathJye">f(x)=x

1

2

=

x

是[0，+∞）上的正函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈[a，b]時(shí)

f(a)=a f(b)=b

，
即

a =a b =b

，解得a=0，b=1，
故函數(shù)f（x）的“等域區(qū)間”為[0，1]；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的減函數(shù)，
所以當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，

g(a)=b g(b)=a

，即

a2+m=b b2+m=a

，
兩式相減得a²-b²=b-a，即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，且b=-（a+1）得-1＜a＜-

1

2

，
故關(guān)于a的方程a2+a+m+1=0在區(qū)間(-1，-

1

2

)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，
記h（a）=a²+a+m+1，則

h(-1)＞0 h(- 1 2 )＜0

，
解得m∈（-1，-

3

4

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了新的定義，以及函數(shù)的值域，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題