分析 化簡函數(shù)f(x),(Ⅰ)根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f(x)的最大值以及對應x的取值集合;
(Ⅱ)根據(jù)題意求出A的值,再利用正弦定理求出b、c的解析式,寫出△ABC的周長L,求出它的最大值.
解答 解:函數(shù)f(x)=cos(2x+$\frac{2π}{3}$)+2cos2x
=cos2xcos$\frac{2π}{3}$-sin2xsin$\frac{2π}{3}$+2×$\frac{1+cos2x}{2}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1
=-sin(2x-$\frac{π}{6}$)+1;
(Ⅰ)令2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ,k∈Z,
解得x=-$\frac{π}{6}$+kπ,k∈Z,
∴f(x)的最大值為1+1=2,
且f(x)取最大值時x的取值集合是{x|x=-$\frac{π}{6}$+kπ,k∈Z};
(Ⅱ)△ABC中,f(B+C)=$\frac{3}{2}$,
∴-sin[2(B+C)-$\frac{π}{6}$]+1=$\frac{3}{2}$,
sin[2(B+C)-$\frac{π}{6}$]=-$\frac{1}{2}$,
∵0<B+C<π,
∴-$\frac{π}{6}$<2(B+C)-$\frac{π}{6}$<$\frac{11π}{6}$,
∴2(B+C)-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$,
∴B+C=$\frac{2π}{3}$,
∴A=$\frac{π}{3}$;
又∵a=1,
∴$\frac{a}{ainA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB,c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC,
∴△ABC的周長為:
L=a+b+c
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin($\frac{2π}{3}$-C)+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC
=1+cosC+$\sqrt{3}$sinC
=1+2sin(C+$\frac{π}{6}$),
∵0<C<$\frac{2π}{3}$,
∴$\frac{π}{6}$<C+$\frac{π}{6}$<$\frac{5π}{6}$,
∴當C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$,即C=$\frac{π}{3}$時,△ABC的周長取最大值為1+2=3.
點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、和差公式、誘導公式、余弦定理、三角形面積計算公式,也考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 某校高一(5)班數(shù)學成績非常突出的男生能組成一個集合 | |
B. | 《數(shù)學1(必修)》課本中所有的難題能組成一個集合 | |
C. | 性格開朗的女生可以組成一個集合 | |
D. | 圓心為定點,半徑為1的圓內(nèi)的點能組成一個集合 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | [$\frac{5}{3}$,$\frac{8}{3}$] | B. | [2,$\frac{8}{3}$) | C. | [$\frac{5}{3}$,2] | D. | [$\frac{5}{3}$,2) |
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