已知a>0,b>0,且a+b=1.求證:(a+)(b+)≥.
本題可采用分析綜合、均值代換、三角代換等多種方法得證。
要證(a+)(b+)≥,即證ab≤或ab≥8.,再根據(jù)a>0,b>0,且a+b=1.分析即可得證。

【錯解分析】此題若直接應(yīng)用重要不等式證明,顯然a+和 b+不能同時取得等號,如果忽略這一點就很容易出錯了。
【正解】證法一:(分析綜合法)欲證原式,即證4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,
即證4(ab)2-33(ab)+8≥0,
即證ab≤或ab≥8.
∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2,∴ab≤,從而得證.
證法二:(均值代換法)設(shè)a=+t1,b=+t2.∵a+b=1,a>0,b>0,∴t1+t2=0,|t1|<,|t2|<

顯然當且僅當t=0,即a=b=時,等號成立.
證法三:(比較法)∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2,∴ab≤

證法四:(綜合法)∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2,∴ab≤.


證法五:(三角代換法)∵ a>0,b>0,a+b=1,故令a=sin2α,b=cos2α,α∈(0,)

【點評】證明不等式時,要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系,選擇適當?shù)淖C明方法,要熟悉各種證法中的推理思維,并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點。不等式證明常用的方法有:
(1)比較法:比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟,變形的主要方向是因式分解、配方,判斷過程必須詳細敘述;如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式,則考慮用判別式法證.
(2)綜合法和分析法:綜合法是由因?qū)Ч,而分析法是?zhí)果索因,兩法相互轉(zhuǎn)換,互相滲透,互為前提,充分運用這一辯證關(guān)系,可以增加解題思路,開擴視野.
(3)不等式證明還有一些常用的方法:換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換,均值代換兩種,在應(yīng)用換元法時,要注意代換的等價性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一,放縮要有的放矢,目標可以從要證的結(jié)論中考查.有些不等式,從正面證如果不易說清楚,可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題,適宜用反證法.
練習冊系列答案
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求xn,yn;
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A.B.
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