Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|-|2x-a|．
（1）當(dāng)a=2時，解不等式f（x）≥-4；
（2）若f（x）≤4，對x∈R成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時：f（x）≥-4即：|x+2|-|2x-2|≥-4．通過x≤-2，-2＜x≤1，1＜x，去掉絕對值符號，然后求解不等式即可．
（Ⅱ）通過a＞-4，a=-4，a＜-4，化簡函數(shù)的解析式，利用f（x）≤4，對x∈R成立，通過函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化不等式，求解a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時：f（x）≥-4即：|x+2|-|2x-2|≥-4．
等價于$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-2-x+2x-2≥-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x≤1}\\{x+2+2x-2≥-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+2-2x+2≥-4}\end{array}\right.$…（3分）
解得：x∈∅或x∈[$-\frac{4}{3}$，1]或x∈（1，8]
故不等式的解集為$[{-\frac{4}{3}}\right.，\left.8]$…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)$-2＜\frac{a}{2}$即：a＞-4時：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-a-2，x＜-2\\ 3x+2-a，-2≤x≤\frac{a}{2}\\-x+a+2，x＞\frac{a}{2}\end{array}\right.$，
∴f（x）在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上遞增，在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上遞減
依題意：$f（{\frac{a}{2}}）=|{\frac{a}{2}+2}|≤4$解得：-4＜a≤4…（7分）
當(dāng)$-2=\frac{a}{2}$，即a=-4時：f（x）=-|x+2|≤4對x∈R恒成立               …（8分）
當(dāng)$-2＞\frac{a}{2}$，即$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x-a-2，x＜\frac{a}{2}}\\{-3x+a-2，\frac{a}{2}≤x≤-2}\\{-x+a+2，x＞-2}\end{array}}\right.$
∴f（x）在$（{-∞，\frac{a}{2}}）$上遞增，在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上遞減
依題意：$f（{\frac{a}{2}}）=|{\frac{a}{2}+2}|≤4$，解得：-12≤a＜-4
綜上所求：a的取值范圍為[-12，4]．                            …（10分）

點評 本題考查函數(shù)恒成立，絕對值不等式的解法，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．