Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

．求證：對于任意不小于3的正整數(shù)n都有f（n）＞

n

n+1

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：要證f（n）＞

n

n+1

（n∈N^*且n≥3），只需證

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

，即證1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，也就是證明2ⁿ-1＞2n，利用數(shù)學(xué)歸納法證明2ⁿ-1＞2n（n∈N^*，且n≥3）．

解答： 證明：要證f（n）＞

n

n+1

（n∈N^*且n≥3），
只需證

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

，即證1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，也就是證明2ⁿ-1＞2n．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明2ⁿ-1＞2n（n∈N^*，且n≥3）．
①當(dāng)n=3時(shí)，左邊=7，右邊=6，左邊＞右邊，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*，且k≥3）時(shí)不等式成立，即2^k-1＞2k，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1-1=2•2^k-1=2（2^k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+2k-1＞2（k+1），
故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜上所述，當(dāng)n∈N^*且n≥3時(shí)，2ⁿ-1＞2n成立．
所以f（n）＞

n

n+1

（n∈N^*且n≥3）成立．

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法是證明步驟是關(guān)鍵．