Question

4．在《我是歌手》的比賽中，有6位歌手（1～6號(hào)）進(jìn)入決賽，在決賽中由現(xiàn)場(chǎng)的百家媒體投票選出最受歡迎的歌手，各家媒體獨(dú)立地在投票器上選出3位候選人，其中媒體甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，另在2號(hào)至6號(hào)中隨機(jī)的選2名；媒體乙不欣賞2號(hào)歌手，他一定不選2號(hào)，；媒體丙對(duì)6位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至6號(hào)歌手中隨機(jī)的選出3名．
（1）求媒體甲選中5號(hào)且媒體乙未選中5號(hào)歌手的概率；
（2）ξ表示5號(hào)歌手得到媒體甲，乙，丙的票數(shù)之和，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A表示事件“媒體甲選中5號(hào)歌手”，事件B表示“媒體乙選中5號(hào)歌手”，媒體甲選中5號(hào)且媒體乙未選中5號(hào)歌手的概率P（A$\overline{B}$）=P（A）P（$\overline{B}$），由此能求出結(jié)果．
（2）事件C表示“媒體乙選中5號(hào)歌手”，$P（C）=\frac{C_5^2}{C_6^3}=\frac{1}{2}$，X可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和X的期望．

解答 解：（1）設(shè)A表示事件“媒體甲選中5號(hào)歌手”，事件B表示“媒體乙選中5號(hào)歌手”，
則$P（A）=\frac{C_4^1}{C_5^2}=\frac{2}{5}，P（B）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，
∴媒體甲選中5號(hào)且媒體乙未選中5號(hào)歌手的概率：
P（A$\overline{B}$）=P（A）P（$\overline{B}$）=$\frac{2}{5}×$（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{4}{25}$．
（2）事件C表示“媒體乙選中5號(hào)歌手”，$P（C）=\frac{C_5^2}{C_6^3}=\frac{1}{2}$，
∵X可能的取值為0，1，2，3，
∴P（X=0）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=（1-$\frac{2}{5}$）（1-$\frac{3}{5}$）（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{25}$，
P（X=1）=P（A$\overline{B}\overline{C}$）+P（$\overline{A}B\overline{C}$）+P（$\overline{A}\overline{B}C$）
=$\frac{2}{5}×（1-\frac{3}{5}）×（1-\frac{1}{2}）$+（1-$\frac{2}{5}$）×$\frac{3}{5}$×（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{19}{50}$，
P（X=2）=P（AB$\overline{C}$）+P（$A\overline{B}C$）+P（$\overline{A}BC$）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{2}{5}×\frac{2}{5}×\frac{1}{2}+\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{19}{50}$，
$P（X=3）=P（ABC）=\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{2}=\frac{3}{25}$，
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{3}{25}$	$\frac{19}{50}$	$\frac{19}{50}$	$\frac{3}{25}$

所為X的期望為$E（X）=0×\frac{3}{25}+1×\frac{19}{50}+2×\frac{19}{50}+3×\frac{3}{25}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，涉及到平均數(shù)、方差、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．