Question

13．甲、乙兩位同學參加數(shù)學競賽培訓，培訓期間共參加了10次模擬考試，根據(jù)考試成績，得到如下圖所示的莖葉圖．規(guī)定模擬考試成績不低于81分為優(yōu)秀等次．
（1）求乙學生的平均成績及方差；
（2）從甲學生的10次模擬考試成績中隨機選取3個，記成績?yōu)閮?yōu)秀等次的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖能求出乙學生的平均成績和方差．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由莖葉圖得乙學生的平均成績?yōu)椋?br />$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$（61+69+74+75+78+89+86+89+94）=80，
方差為：
S²=$\frac{1}{10}$[（-19）²+（-11）²+（-6）²+（-5）²+（-2）²+9²+6²+5²+9²+14²]=96.6．
（2）X的可能取值為：
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

EX=$0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{5}{12}+3×\frac{1}{12}$=1.5．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，涉及到平均數(shù)、方差、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望等知識點，考查推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．