Question

14．如圖，在△A BC中，三內(nèi)角 A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a²=b²+c²+bc，$a=\sqrt{3}$，S為△A BC的面積，圓 O是△A BC的外接圓，P是圓 O上一動(dòng)點(diǎn)，
（1）求$S+\sqrt{3}cos{B}cosC$取得最大值；
（2）當(dāng)B=30°時(shí)，求$\overrightarrow{{P}{A}}•\overrightarrow{{P}{B}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦定理和和正弦定理以及兩角差的余弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出，
（2）方法一：利用向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出，
方法二，建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出

解答 解：（1）由a²=b²+c²+bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0°＜A＜180°，
∴A=120°
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$⇒b=2sinB，c=2sinC
∴$S+\sqrt{3}cos{B}cosC$=$\frac{1}{2}bcsinA+$$\sqrt{3}cos{B}cosC$=$\sqrt{3}sinBsinC+\sqrt{3}cos{B}cosC$=$\sqrt{6}$cos（B-C）≤$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)B=C時(shí)取等號(hào)，
∴$S+\sqrt{3}cos{B}cosC$最大值為$\sqrt{6}$；
（2）方法一：當(dāng)B=30°時(shí)，△A BC為等腰三角形，
$\overrightarrow{{P}{A}}•\overrightarrow{{P}{B}}$═$（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}）•（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}）={\overrightarrow{PO}^2}+\overrightarrow{PO}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1+2$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{OD}$+$\frac{1}{2}$（其中D為AB的中點(diǎn)）
=$\frac{3}{2}+2|{\overrightarrow{PO}}||{\overrightarrow{OD}}|cos＜\overrightarrow{PO}，\overrightarrow{OD}＞$≤$\frac{3}{2}+2×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1=\frac{3}{2}+\sqrt{3}$
法二：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則$A（0，1），B（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，
設(shè)P（cosθ，sinθ），則$\overrightarrow{PA}$=（-cosθ，1-sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-cosθ，$\frac{1}{2}$-sinθ），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=cos²θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+sin²θ-$\frac{3}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ）+$\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}$cos（θ+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$≤$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\overrightarrow{{P}{A}}•\overrightarrow{{P}{B}}$的最大值為$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦定理，余弦定理，向量的數(shù)量積運(yùn)算，是三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用，難度中檔．