Question

1．已知函數(shù)f（x）=e²，g（x）=x²+ax-2a²+3a，（a∈R），記函數(shù)h（x）=g（x）•f（x）．
（1）討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
（2）試比較e^f（x-2）與x的大�。�

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為比較${e^{{e^{x-2}}}}$與x，通過討論x的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較其大小即可．

解答 解：（1）h（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x，
所以h'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax-2a²+3a）e^x=（x+2a）[x-（a-2）]e^x┉┉┉（2分）
①當(dāng)$a＞\frac{2}{3}$時(shí)，則-2a＜a-2，在（-∞，a-2）和（-2a，+∞）上h'（x）＞0，h（x）是增函數(shù)；
在（-2a，a-2）上，h'（x）＞0，h（x）是減函數(shù)．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
②當(dāng)$a＜\frac{2}{3}$時(shí)，則-2a＞a-2，在（-∞，a-2）和（-2a，+∞）上h'（x）＞0，h（x）是增函數(shù)；
在（a-2，-2a）上，h'（x）＞0，h（x）是減函數(shù)．
③當(dāng)$a=\frac{2}{3}$時(shí)，$h'（x）={（{x+\frac{4}{3}}）^2}{e^x}≥0$恒成立，且h（x）圖象連續(xù)不斷，
所以h（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（2）${e^{f（{x-2}）}}={e^{{e^{x-2}}}}$，即比較${e^{{e^{x-2}}}}$與x大�。�
①當(dāng)x≤0時(shí)，顯然有e^f（x-2）＞0≥x；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（7分）
②當(dāng)x＞0時(shí)，lne^f（x-2）=e^x-2，即比較e^x-2與lnx大�。�
設(shè)ϕ（x）=e^x-2-lnx，$ϕ'（x）={e^{x-2}}-\frac{1}{x}$，${（{ϕ'（x）}）^′}={e^{x-2}}+\frac{1}{x^2}＞0$，
所以ϕ'（x）在（0，+∞）遞增，而ϕ'（1）＜0，ϕ'（2）＞0，
ϕ'（x）在（0，+∞）有位移的實(shí)數(shù)根x₀，且1＜x₀＜2，${e^{{x_0}-2}}=\frac{1}{x_0}$，
∴x₀-2=-lnx₀．ϕ（x）在（0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）
$ϕ（x）≥ϕ'（{x_0}）={e^{{x_0}-2}}-ln{x_0}=\frac{1}{x_0}+{x_0}-2=\frac{1}{x_0}{（{{x_0}-1}）^2}＞0$
即有ϕ'（x）=e^x-2-lnx＞0，即e^x-2＞lnx，即有e^f（x-2）＞x．
綜上可得e^f（x-2）＞x．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（12分）
注：當(dāng)x＞0時(shí)，要證ϕ（x）=e^x-2-lnx＞0，
也可轉(zhuǎn)化為證：e^x-2≥x-1≥lnx（等號(hào)不能同時(shí)取到）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．