Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a}$lnx+$\frac{1}{2}$x²-（1+$\frac{1}{a}$）x，其中a≠0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{3ln1+2}+\frac{1}{3ln2+2}+…+\frac{1}{3lnn+2}＞\frac{n}{n+1}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函數(shù)f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-1）}{ax}$，對a進行分類討論，可得不同情況下函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）得當(dāng)a=-$\frac{2}{3}$時，f（x）=-$\frac{3}{2}$lnx+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x，在（0，1）上遞減，在（1，+∞）時遞增；進而可得f（x）≥f（1），即3lnx+2≤x²+x=x（x+1），故當(dāng)x≥2時，$\frac{1}{3lnx+2}$＞$\frac{1}{x（x+1）}$=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，由裂項相消法，可證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a}$lnx+$\frac{1}{2}$x²-（1+$\frac{1}{a}$）x，
∴函數(shù)f′（x）=$\frac{1}{ax}$+x-（1+$\frac{1}{a}$）=$\frac{（ax-1）（x-1）}{ax}$，
若a＜0，則當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
即此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）；函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
若0＜a＜1，則當(dāng)x∈（0，1）∪（$\frac{1}{a}$，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，$\frac{1}{a}$）時，f′（x）＜0，
即此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（$\frac{1}{a}$，+∞）；函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，$\frac{1}{a}$）；
當(dāng)a=1時，f′（x）≥0恒成立，
即此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
若a＞1，則當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，1）時，f′（x）＜0，
即此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$）和（1，+∞）；函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，1）；
證明：（2）由（1）得當(dāng)a=-$\frac{2}{3}$時，f（x）=-$\frac{3}{2}$lnx+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x，在（0，1）上遞減，在（1，+∞）時遞增；
則f（x）=-$\frac{3}{2}$lnx+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x≥f（1）=1，
即3lnx+2≤x²+x=x（x+1），
當(dāng)x≥2時，$\frac{1}{3lnx+2}$＞$\frac{1}{x（x+1）}$=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，
故$\frac{1}{3ln1+2}+\frac{1}{3ln2+2}+…+\frac{1}{3lnn+2}$＞（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$

點評 本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，放縮法證明不等式，裂項相消法求數(shù)列的和，綜合性強，屬于難題．