Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線(xiàn)C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點(diǎn)M、N均在直線(xiàn)x＝5上．圓弧C1的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為r1＝13；圓弧C2過(guò)點(diǎn)A(29，0)．

(1)求圓弧C2所在圓的方程；

(2)曲線(xiàn)C上是否存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足PA＝PO？若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)已知直線(xiàn)l：x－my－14＝0與曲線(xiàn)C交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)EF＝33時(shí)，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離．

 

Answer 1

（1）x2＋y2－28x－29＝0.（2）P不存在（3）

【解析】(1)由題意得，圓弧C1所在圓的方程為x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C2過(guò)點(diǎn)A(29，0)，設(shè)圓弧C2所在圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

則，解得

所以圓弧C2所在圓的方程為x2＋y2－28x－29＝0.

(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P(x，y)，則由PA＝PO，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.由

解得x＝－70(舍去)；

由解得x＝0(舍去)．所以這樣的點(diǎn)P不存在．

(3)因?yàn)閳A弧C1、C2所在圓的半徑分別為r1＝13，r2＝15，因?yàn)镋F>2r1，EF>2r2，所以E、F兩點(diǎn)分別在兩個(gè)圓弧上．設(shè)點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為d，因?yàn)橹本�(xiàn)l恒過(guò)圓弧C2所在圓的圓心(14，0)，所以EF＝15＋，

即＝18，解得d2＝，所以點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為.