Question

已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F且不平行于x軸的動(dòng)直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)M.

(1)求證：A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

(2)設(shè)直線MF交該拋物線于C、D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）32

【解析】(1)證明：由已知，得F(0，1)，顯然直線AB的斜率存在且不為0,

則可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y，得x2－4kx－4＝0，顯然Δ＝16k2＋16>0.

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，

由x2＝4y，得y＝x2，所以y′＝x,所以，直線AM的斜率為kAM＝x1,

所以，直線AM的方程為y－y1＝x1(x－x1)，又＝4y1,

所以，直線AM的方程為x1x＝2(y＋y1)①，同理，直線BM的方程為x2x＝2(y＋y2)②，

②－①并據(jù)x1≠x2得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x＝，即A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

(2)【解析】
由①②易得y＝－1，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k，－1)(k≠0).

所以kMF＝＝－，則直線MF的方程為y＝－x＋1，

設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)由消去y，得x2＋x－4＝0，顯然Δ＝＋16>0,

所以x3＋x4＝－，x3x4＝－4，又|AB|＝

＝＝4(k2＋1)，

|CD|＝＝

，

因?yàn)閗MF·kAB＝－1，所以AB⊥CD，

所以SACBD＝|AB|·|CD|＝8≥32,

當(dāng)且僅當(dāng)k＝±1時(shí)，四邊形ACBD面積取到最小值32.