Question

（文）已知函數f(x)=

a•2x+a2-2

2x-1

(x∈R，x≠0)，其中a為常數，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函數，求a的取值集合A；
（2）當a=-1時，求f（x）的反函數；
（3）對于問題（1）中的A，當a∈{a|a＜0，a∉A}時，不等式x²-10x+9＜a（x-4）恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：不等關系與不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由必要條件f（-1）+f（1）=0，得a=-1，當a=-1時，f(x)=

1+2x

1-2x

，任取x≠0，x∈R．f（x）+f（-x）=0，由此能求出A={-1}．
（2）當a=-1時，由y=f(x)=

1+2x

1-2x

，得x=log2

y-1

y+1

，互換x，y，能求出f（x）的反函數．
（3）原問題轉化為：g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}恒成立，由此能求出x的取值范圍．

解答： 解：（1）由必要條件f（-1）+f（1）=0，
得a²-a-2=0，a＜0，所以a=-1，…2分
下面證充分性，當a=-1時，f(x)=

1+2x

1-2x

，任取x≠0，x∈R．
f(-x)+f(x)=

1+2-x

1-2x

+

1+2x

1-2x

=

2x+1

2x-1

+

1+2x

1-2x

=0恒成立…2分
∴A={-1}．…1分
（2）當a=-1時，由y=f(x)=

1+2x

1-2x

，得x=log2

y-1

y+1

，
互換x，y得f-1(x)=log2

x-1

x+1

，…1分
∴f（x）的反函數為f-1(x)=log2

x-1

x+1

，x＜-1或x＞1．…1分
（3）原問題轉化為：
g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，
a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}恒成立
則

x-4＜0 g(0)≥0

或

x-4=0 g(0)＞0

，
解得x的取值范圍為{1，4}…2分

點評：本題考查集合的求法，考查反函數的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．