Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{|x|}}}{e^x}$，若關(guān)于x的方程f（x）-m+1=0恰有三個不等實根，則實數(shù)m的取值范圍為$（{1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1}）$．

Answer 1

分析 當x≤0時，$f（x）=\frac{{\sqrt{|x|}}}{e^x}$=$\frac{\sqrt{-x}}{{e}^{x}}$為（-∞，0]上的減函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性求其最小值；當x＞0時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并求得極值，畫出簡圖，把關(guān)于x的方程f（x）-m+1=0恰有三個不等實根轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=m-1的圖象有3個不同交點，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：當x≤0時，$f（x）=\frac{{\sqrt{|x|}}}{e^x}$=$\frac{\sqrt{-x}}{{e}^{x}}$為（-∞，0]上的減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0；
當x＞0時，f（x）=$\frac{\sqrt{x}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}•{e}^{x}-\sqrt{x}•{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{1-2x}{2\sqrt{x}{e}^{x}}$．
則x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，f′（x）＜0，x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增．
∴f（x）的極大值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$．
其大致圖象如圖所示：
若關(guān)于x的方程f（x）-m+1=0恰有三個不等實根，
即y=f（x）與y=m-1的圖象有3個不同交點，則0＜m-1＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$．
得1＜m＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}+1$．
∴實數(shù)m的取值范圍為$（{1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1}）$，
故答案為：$（{1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1}）$．

點評 本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．