Question

16．已知圓C：（x-1）²+（y-1）²=1和點(diǎn)M（2，3）．
（1）過點(diǎn)M向圓C引切線l，求直線l的方程；
（2）求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y=2x+4截得的弦長(zhǎng)為4的圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，可求．（注意斜率存在和不存在討論）
（2）利用直線截圓的弦長(zhǎng)公式，求出半徑即可．

解答 解：（1）由題意：圓C的圓心為（1，1），半徑r=1，
過點(diǎn)M向圓C引切線l，
①若切線方程的斜率不存在，則直線方程x=2，恰與圓C相切，符合題意．
②若切線方程的斜率存在，設(shè)直線方程為y-3=k（x-2），即kx-y-2k+3=0
由直線方程，與圓C相切，可得：$\frac{|k-1-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$
解得：k=$\frac{3}{4}$，
故所求的直線l的方程為x=2或3x-4y-3=0．
（2）以點(diǎn)M為圓心，即圓心為（2，3），設(shè)半徑為r．
圓被直線y=2x+4截得的弦長(zhǎng)為4，
圓心到直線的距離d=$\frac{|2×2-3+4|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
弦長(zhǎng)l=2$\sqrt{{r}^{2}-juowe3j^{2}}$，即4=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{45}{25}}$，
解得：r=$\frac{\sqrt{145}}{5}$．
故得圓M的方程為：（x-2）²+（y-3）²=$\frac{29}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 板梯考查了圓的方程求法和直線與圓的位置關(guān)系的判斷以及運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．