【題目】如圖,是一個三棱錐,是圓的直徑,是圓上的點,垂直圓所在的平面,,分別是棱,的中點.
(1)求證:平面;
(2)若二面角是,,求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)可證,,再利用可得,,從而可證平面.
(2)可證為二面角的平面角,再以為坐標(biāo)原點,,,方向分別為軸,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 求出平面的法向量和直線的方向向量后可求與平面所成角的正弦值.
(1)因為是圓的直徑,所以.
因為垂直圓所在的平面,且在該平面中,所以.
因為,分別是棱,的中點,
所以,所以,
又因為,所以有平面.
(2)由(1)可知,,,
所以為二面角的平面角,
從而有,則.
又,,得.
以為坐標(biāo)原點,,,方向分別為軸,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則,,,
,,,
,,
.
設(shè)是平面的法向量,則
即可取.
故.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,側(cè)面ABCD為矩形,側(cè)面DEFG為平行四邊形,AB=1,AD=2,AG∥BF,AB⊥BF,AG=3,BF=5,二面角D﹣AB﹣F的大小為60°.
(1)證明,平面CDE⊥平面ADG
(2)求直線BE與平面ABCD所成角的大小
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【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若關(guān)于的方程f(x)=kex(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))恰有兩個不同的實根,求實數(shù)的值.
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【題目】某校將一次測試中高三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下表所示,在參加測試的學(xué)生中任取1人,其成績不低于120分的概率為.
分數(shù) | |||||||
頻數(shù) | 40 | 50 | 70 | 60 | 80 | 50 |
(1)求的值;
(2)若按照分層抽樣的方法從成績在、的學(xué)生中抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人進行錯題分析,求這2人中至少有1人的分數(shù)在的概率.
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【題目】已知函數(shù)且a≠0).
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)的極小值為,試求a的值.
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【題目】如圖甲,AD,BC是等腰梯形CDEF的兩條高,,點M是線段AE的中點,將該等腰梯形沿著兩條高AD,BC折疊成如圖乙所示的四棱錐P-ABCD(E,F重合,記為點P).
甲 乙
(1)求證:;
(2)求點M到平面BDP距離h.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求的最大值;
(2)若只有一個極值點.
(i)求實數(shù)的取值范圍;
(ii)證明:.
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【題目】某購物商場分別推出支付寶和微信“掃碼支付”購物活動,活動設(shè)置了一段時間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用“掃碼支付”.現(xiàn)統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每天使用掃碼支付的人次,用表示活動推出的天數(shù),表示每天使用掃碼支付的人次,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
(1)根據(jù)散點圖判斷,在推廣期內(nèi),掃碼支付的人次關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程適合用來表示,求出該回歸方程,并預(yù)測活動推出第天使用掃碼支付的人次;
(2)推廣期結(jié)束后,商場對顧客的支付方式進行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:
支付方式 | 現(xiàn)金 | 會員卡 | 掃碼 |
比例 |
商場規(guī)定:使用現(xiàn)金支付的顧客無優(yōu)惠,使用會員卡支付的顧客享受折優(yōu)惠,掃碼支付的顧客隨機優(yōu)惠,根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知,使用掃碼支付的顧客,享受折優(yōu)惠的概率為,享受折優(yōu)惠的概率為,享受折優(yōu)惠的概率為.現(xiàn)有一名顧客購買了元的商品,根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率來估計相應(yīng)事件發(fā)生的概率,估計該顧客支付的平均費用是多少?
參考數(shù)據(jù):設(shè),,,
參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.
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