已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點F在直線l：x-y+1=0上
（I）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與拋物線C相交于P，Q兩點，求線段PQ中點M的坐標．
分析：（I）根據(jù)拋物線的標準方程，將焦點F（0，
1
2
p）代入直線l方程算出p=2，即可得到拋物線C的方程；
（II）將直線l方程與拋物線C消去y，得
1
4
x2-x-1=0．由根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標公式，即可算出線段PQ中點M的坐標．
解答：解：（I）∵拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F（0，
1
2
p）
∴0-
1
2
p+1=0，可得p=2，
因此拋物線C的方程是x2=4y；
（II）由
x-y+1=0
x2=4y
，消去y得
1
4
x2-x-1=0
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）
∴x1+x2=4，可得中點M的橫坐標為
1
2
=2（x1+x2）=2
代入直線l方程，得縱坐標為yM=xM+1=3
即線段PQ中點M的坐標（2，3）．
點評：本題給出直線與拋物線相交，求拋物線方程并求截得弦的中點坐標．著重考查了拋物線的標準方程和直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0），其焦點F到準線的距離為
12
．
（1）試求拋物線C的方程；
（2）設(shè)拋物線C上一點P的橫坐標為t（t＞0），過P的直線交C于另一點Q，交x軸于M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N，若MN是C的切線，求t的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=
12
y和定點P（1，2），A、B為拋物線C上的兩個動點，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù)．
（I）求證：直線AB的斜率是定值；
（II）若拋物線C在A、B兩點處的切線相交于點M，求M的軌跡方程；
（III）若A′與A關(guān)于y軸成軸對稱，求直線A′B與y軸交點P的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py，過點A（0，4）的直線l交拋物線C于M，N兩點，且OM⊥ON．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點Q，若△MNQ是等腰三角形，求直線MN的方程．K．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=ay（a＞0），斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，交拋物線于A，B兩點，且拋物線上一點M(2
2
 ， m) (m＞1)到點F的距離是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且
AF
=3
FB
，求k的值．
（Ⅲ）過A，B兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為點Q，求證：
AB
 • 
FQ
=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2my（m＞0）和直線l：y=x-m沒有公共點（其中m為常數(shù)）．動點P是直線l上的任意一點，過P點引拋物線C的兩條切線，切點分別為M、N，且直線MN恒過點Q（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知O點為原點，連接PQ交拋物線C于A、B兩點，求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值．

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