Question

設(shè)f（x）=sin（2x+φ），若f（x）≤f（）對(duì)一切x∈R恒成立，則：
①f（-）=0；
②f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱；
③f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
④f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+，kπ+]（k∈Z）
以上結(jié)論正確的是________（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．

Answer 1

①②③
分析：根據(jù)題意可算出函數(shù)表達(dá)式為：f（x）=sin（2x++2kπ）．通過表達(dá)式計(jì)算函數(shù)值，可得①②都是真命題；根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性，結(jié)合函數(shù)奇偶性的圖象特征，可得③是假命題；根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式，計(jì)算得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間不是[kπ+，kπ+]（k∈Z），得④是假命題．
解答：∵f（x）≤f（）對(duì)一切x∈R恒成立，
∴f（x）=sin（2x+φ）在x=時(shí)取得最大值，即2×+φ=+2kπ，k∈Z，得φ=+2kπ，k∈Z，
因此函數(shù)表達(dá)式為：f（x）=sin（2x++2kπ）
因?yàn)閒（-）=sin[2×（-）++2kπ]=sin2kπ=0，所以①是真命題；
∵f（）=sin（2×x++2kπ）=sin（π+2kπ）=0，
∴x=是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，得點(diǎn)（，0）是函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心，故②是真命題；
∵函數(shù)y=f（x）的圖象既不關(guān)于y軸對(duì)稱，也不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，得③是真命題；
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，得-+kπ≤x≤+kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-+kπ，+kπ]（k∈Z），故④是假命題．
由以上的討論，可得正確命題為①②③，共三個(gè)
故答案為：①②③
點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、圖象的對(duì)稱性、函數(shù)的最值和零點(diǎn)等知識(shí)，屬于中檔題．