Question

13．如圖，在半球O的直徑AB的延長線上取一點(diǎn)P，作PC的切半圓O于點(diǎn)C，又經(jīng)過P任作一直線交半圓O于點(diǎn)M、N，過C作CD⊥AB，垂足為D
（1）求證：M、O、D、N四點(diǎn)共圓；
（2）求證：∠MDC=∠NDC．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC、OM、DN，利用PC與圓相切，所以PC²=PM•PN…①，證明△CPD∽△OPC，所以PC²=PD•PO…②由①、②得PM•PN=PD•PO，即$\frac{PN}{PO}=\frac{PD}{PM}$，進(jìn)而證明△OPM∽△NPD，∠OMP+∠NDO=π，即可證明M、O、D、N四點(diǎn)共圓；
（2）利用$∠MDO+∠CDM=\frac{π}{2}$，∠NDP+∠CDN=$\frac{π}{2}$，證明：∠MDC=∠NDC．

解答 證明：（1）連結(jié)OC、OM、DN
因?yàn)镻C與圓相切，所以PC²=PM•PN…①
且∠OCP=90°
又因?yàn)椤螩DP=90°，∠CPO=∠DPC
所以△CPD∽△OPC，
所以$\frac{PD}{PC}=\frac{PC}{PO}$，所以PC²=PD•PO…②…（2分）
由①、②得PM•PN=PD•PO，即$\frac{PN}{PO}=\frac{PD}{PM}$．
因?yàn)椤螼PM=∠NPD，
所以△OPM∽△NPD，
所以∠NDP=∠OMP，∠NDP+∠NDO=π，
所以∠OMP+∠NDO=π
所以M、N、D、O四點(diǎn)共圓；                                              …（5分）
（2）連結(jié)MD、ON
因?yàn)镸、N、D、O四點(diǎn)共圓，所以∠MNO=∠MDO
因?yàn)镺M=ON，所以∠MNO=∠NMO，所以∠MDO=∠NMO…（8分）
又因?yàn)椤螻DP=∠NMO，所以∠MDO=∠NDP
又因?yàn)?∠MDO+∠CDM=\frac{π}{2}$，∠NDP+∠CDN=$\frac{π}{2}$
所以∠MDC=∠NDC…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．