Question

9．如圖，直線AB經(jīng)過(guò)圓O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交直線OB于點(diǎn)E、D，連接EC、CD．
（Ⅰ）求證：直線AB是圓O的切線；
（Ⅱ）若tan∠CED=$\frac{1}{3}$，圓O的半徑為2，求OA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）利用等腰三角形的性質(zhì)和切線的定義即可證明；
（II）利用圓的性質(zhì)可得$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{3}$．再利用切線的性質(zhì)可得△CBD∽△EBC，于是$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{3}$．設(shè)BD=x，BC=3x，利用切割線定理可得BC²=BD•BE，代入解出即可．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，連接OC，
∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切線．
（Ⅱ）解：∵ED是直徑，∴∠ECD=90°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CED=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{3}$．
∵AB是⊙O的切線，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△CBD∽△EBC，∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{3}$．
設(shè)BD=x，BC=3x，
又BC²=BD•BE，∴（3x）²=x•（x+4）．
解得：x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，
∵BD=x＞0，∴BD=$\frac{1}{2}$．
∴OA=OB=BD+OD=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的定義、圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．