【題目】已知圓，圓，如圖，分別交軸正半軸于點(diǎn).射線分別交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線與軸垂直，直線與軸垂直.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線與點(diǎn)，射線與點(diǎn)，且交曲線于點(diǎn).問(wèn)：的值是否是定值？如果是定值，請(qǐng)求出該定值；如果不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（2）是定值，為.

【解析】

(1) 設(shè),再根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系可得,,進(jìn)而消參求得軌跡的方程即可.

(2) 設(shè)直線的方程為,再聯(lián)立直線與(1)中橢圓的方程,根據(jù)弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn),代入韋達(dá)定理求解即可.

解：方法一：（1）如圖設(shè),則

,所以,.

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.

方法二：（1）當(dāng)射線的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為,方程為,

由得,同理得,所以即有動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.當(dāng)射線的斜率不存在時(shí),點(diǎn)也滿(mǎn)足.

（2）由（1）可知為的焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為（斜率不為0時(shí)）且設(shè)點(diǎn),,由得

所以,所以

又射線方程為,帶入橢圓的方程得,即

,

所以

又當(dāng)直線的斜率為時(shí),也符合條件.綜上,為定值,且為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，分別是的中點(diǎn).

（1）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明；

（2）設(shè)（1）中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿(mǎn)足.記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：.

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（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)分別為，求的最大值及此時(shí)直線的傾斜角.

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【題目】甲、乙兩工人在同樣的條件下生產(chǎn),日產(chǎn)量相等,每天出廢品的情況如下表:

則下列結(jié)論中正確的是 ( )

A. 甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些

B. 乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些

C. 兩人生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量一樣好

D. 無(wú)法判斷誰(shuí)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些

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【題目】已知，圖中直棱柱的底面是菱形，其中.又點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足：，.

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（2）是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為？如果存在，求出的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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（1）證明：平面PAB⊥平面PBC；

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（2）若，求的值．

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（Ⅱ）求二面角A-SD-C的余弦值．

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