Question

設(shè)F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，直線l方程為x=-

a2

c

，直線l與x軸交于P點(diǎn)，M，N分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，已知丨MN丨=2

2

，且丨PM丨=

2

丨MF丨．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）過點(diǎn)P的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)，求△ABF面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得|MN|=2a=2

2

，|

2

-

2

c

|=

2

|

2

-c|，c＜a=

2

，由此能求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)PA：y=k（x+2），代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判別式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式能求出S_△ABF=

1

2

|AB|h=

2k2(1-2k2)

1+2k2

，設(shè)t=2k²，則S=

t(1-t)

1+t

，0≤t≤1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出t=

1

3

時(shí)，S取最大值

2

4

．

解答： 解：（1）由已知得|MN|=2a=2

2

，∴a=

2

，
∵直線l方程為x=-

a2

c

，
∴左準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)P（-

2

c

，0），F(xiàn)（-c，0），M（-

2

，0），
由丨PM丨=

2

丨MF丨，得|

2

-

2

c

|=

2

|

2

-c|，c＜a=

2

，
∴

2

-c=c（

2

-c），解得c=1，b=1，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)PA：y=k（x+2），代入

x2

2

+y2=1，
得x²+2k²（x²+4x+4）=2，
（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=-4（4k²-2）=8（1-2k²），
|AB|=

(1+k2)[8(1-2k2)]

1+2k2

，
點(diǎn)F到AB的距離h=

|k|

1+k2

，
∴S_△ABF=

1

2

|AB|h=

2k2(1-2k2)

1+2k2

，
設(shè)t=2k²，則S=

t(1-t)

1+t

，0≤t≤1，
S′=

2 t-t2 (1-2t)(1+t)- t-t2

(1+t)2

=

1-t-2t2-2(t-t2)

2(1+t)2 t-t2

=

1-3t

2(1+t)2 t-t2

，
∴t=

1

3

時(shí)，S取最大值

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查△ABF面積的最大值的求法，解題時(shí)要注意根的判別式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．