Question

求使f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）是奇函數(shù)，且在[0，

π

4

]上是減函數(shù)的所有θ的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的奇偶性

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：由奇函數(shù)在x=0處有定義，則f（0）=0，求得θ，再對f（x）化簡，注意運用兩角和的正弦公式，討論k為奇數(shù)和偶數(shù)，運用正弦函數(shù)的單調性，即可判斷．

解答： 解：f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）是奇函數(shù)，
則f（0）=0，即有sinθ+

3

cosθ=0，
則tanθ=-

3

，解得，θ=kπ-

π

3

，k為整數(shù)，
則f（x）=2[

1

2

sin（2x+θ）+

3

2

cos（2x+θ）]=2sin（2x+θ+

π

3

）
=2sin（2x+kπ），
若k為偶數(shù)，則f（x）=2sin2x，在[0，

π

4

]上是增函數(shù)，不滿足條件；
若k為奇數(shù)，則f（x）=-2sin2x，在[0，

π

4

]上是減函數(shù)，滿足條件．
故滿足條件的所有的θ=（2n+1）π-

π

3

=2nπ+

2π

3

，n∈Z．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷和運用，考查三角函數(shù)的化簡，及誘導公式和兩角和的正弦公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．