Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx-x²+ax，
（1）當(dāng)x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，且x₁＜x₂，求證$f'（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＜0$
（3）證明當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{lnn}＞1$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為即a≤2x-$\frac{1}{x}$恒成立，求出a的范圍即可；
（2）求出a，得到f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，問題轉(zhuǎn)化為證明$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$＞ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，∵0＜x₁＜x₂，∴0＜t＜1，即證明u（t）=$\frac{2（1-t）}{1+t}$+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（3）令a=1，得到lnx≤x²-x，得到x＞1時，$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{1}{x（x-1）}$，分別令x=2，3，4，5，…n，累加即可．

解答 （1）解：∵x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+a≤0在（1，+∞）恒成立，
即a≤2x-$\frac{1}{x}$恒成立，
而y=2x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）遞增，
故2x-$\frac{1}{x}$＞1，
故a≤1；
（2）證明：∵f（x）的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x₁，0），B（x₂，0），
∴方程lnx-x²+ax=0的兩個根為x₁，x₂，
則 lnx₁-${{x}_{1}}^{2}$+ax₁=0，①，lnx₂-${{x}_{2}}^{2}$+ax₂=0，②，
兩式相減得a=（x₁+x₂）-$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，
又f（x）=lnx-x²+ax，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+a，
則f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-（x₁+x₂）+a=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，
要證$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$＜0，
即證明$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$＞ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，∵0＜x₁＜x₂，∴0＜t＜1，
即證明u（t）=$\frac{2（1-t）}{1+t}$+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，
∵u′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1}^{2}}$，
又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，則u（t）＜u（1）=0，
從而知$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$＜0，
故f′（$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）＜0成立；
（3）證明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+∞）遞減，
∴f（x）=lnx-x²+x≤f（1）=0，
故lnx≤x²-x，
x＞1時，$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{1}{x（x-1）}$，
分別令x=2，3，4，5，…n，
故$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$=1-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞1-$\frac{1}{n}$，
即左邊＞1-$\frac{1}{n}$＞1，得證．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、考查通過研究函數(shù)的單調(diào)性解決問題的方法，考查了轉(zhuǎn)化能力、推理能力與計算能力，屬于難題．