Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在點處的切線與曲線的公共點的橫坐標(biāo)之和為3，求的值；

（2）當(dāng)時，對任意，使恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）首先求出 和 ，代入切線公式 聯(lián)立函數(shù)解得 ，根據(jù)條件橫坐標(biāo)之和為3，解得 ；（2）將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為 ，根據(jù) ，分別求函數(shù) 和 的最小值，即求得的取值范圍.

試題解析：（1），則，

所以切線方程為，代入得，則，

所以，即．

（2），

令，則，

令，則或，

因為，所以，

所以當(dāng)和時， ，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的極小值為，又，

令，

易知，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，故，所以，

即當(dāng)時， ，

又，

其對應(yīng)圖像的對稱軸為，所以時， ，

所以，故有，

又，因為，所以，

所以．