Question

（2011•河池模擬）已知正項數(shù)列{an}滿足：a1=1，且（n+1）an+12=nan2﹣an+1an，n∈N*

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

（Ⅱ）設數(shù)列{}的前n項積為Tn，求證：當x＞0時，對任意的正整數(shù)n都有Tn＞．

 

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（I）先對（n+1）an+12﹣nan2+an+1an=0進行化簡得到 ，再由累乘法可得到數(shù)列的通項公式是an．

（II）根據(jù)（I）求出Tn，利用數(shù)學歸納法證明即可，證明過程中注意數(shù)學歸納法的步驟和導數(shù)的靈活應用．

【解析】
（I）∵（n+1）an+12﹣nan2+an+1an=0

∴（另解﹣an不合題意舍去），

∴，

即 ，

（II）由（I）得：Tn=n!，

當x＞0時，Tn＞等價于xn＜n!ex ①

以下用數(shù)學歸納法證明：

①當n=1時，要證x＜ex，令g（x）=ex﹣x，

則g′（x）=ex﹣1＞0，

∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜ex 成立；

②假設當n=k時，①式成立，即xk＜k!ex，那么當n=k+1時，

要證xk+1＜（k+1）!ex也成立，

令h（x）=（k+1）!ex﹣xk+1，則h′（x）=（k+1）!ex﹣（（k+1）xk

=（k+1）（k!ex﹣xk），

由歸納假設得：h′（x）＞0，

∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，

即xk+1＜（k+1）!ex也成立，

由①②即數(shù)學歸納法原理得原命題成立．