Question

4．正三棱錐V-ABC的底面邊長為2，E，F(xiàn)，G，H分別是VA，VB，BC，AC的中點，則四邊形EFGH的面積的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 推導出EF=HG=1，EFGH是平行四邊形，當V點在ABC平面時，VA=VB=VC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時EH，F(xiàn)G有最小值，由此能求出四邊形EFGH的面積的取值范圍．

解答 解：由條件可知：EF=HG=1，EFGH是平行四邊形
因為正三棱錐V-ABC，所以EFGH是矩形而EH，F(xiàn)G，是變量，
當V點在ABC平面時，VA=VB=VC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此時EH，F(xiàn)G有最小值，EH=FG=$\frac{1}{2}$VA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
EFGH的面積為：EF•EH=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴四邊形EFGH的面積的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

點評 本題考查四邊形的面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．