Question

16．已知正項等比數列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，則$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{25}{6}$
• B． $\frac{21}{5}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設{a_n}的公比為q（q＞0），由等比數列的通項公式化簡a₇=a₆+2a₅，求出q，代入a_ma_n=16a₁²化簡得m，n的關系式，由“1”的代換和基本不等式求出式子的范圍，驗證等號成立的條件，由m、n的值求出式子的最小值．

解答 解：設正項等比數列{a_n}的公比為q，且q＞0，
由a₇=a₆+2a₅得：a₆q=a₆+$\frac{2{a}_{6}}{q}$，
化簡得，q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
因為a_ma_n=16a₁²，所（a₁q^m-1）（a₁q^n-1）=16a₁²，
則q^m+n-2=16，解得m+n=6，
$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$=$\frac{1}{6}$×（m+n）×（$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$）=$\frac{1}{6}$×（17+$\frac{n}{m}$+$\frac{16m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$×（17+2$\sqrt{\frac{n}{m}×\frac{16m}{n}}$）=$\frac{25}{6}$，
當且僅當$\frac{n}{m}$=$\frac{16m}{n}$，解得：m=$\frac{6}{5}$，n=$\frac{24}{5}$，
因為m n取整數，所以均值不等式等號條件取不到，$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$＞$\frac{25}{6}$，
驗證可得，當m=1、n=5時，取最小值為$\frac{21}{5}$．
故答案選：B．

點評 本題考查等比數列的通項公式，利用“1”的代換和基本不等式求最值問題，考查化簡及計算能力，注意等號的成立的條件，屬于易錯題．