Question

正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)A、O重合) ，PE⊥PB交線段CD于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)E．

①判斷線段DF、EF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②寫(xiě)出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)O、C重合)，PE⊥PB交直線CD于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)E．判斷（1）中的結(jié)論①、②是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論并證明．

Answer 1

（1）①DF=EF ②PC－PA=CE
（2）結(jié)論①成立, 結(jié)論②不成立，

解析試題分析：（1）①DF=EF                                                     …1分
理由如下：連接PD，因?yàn)锳B=AD,AP=AP,∠BAP=∠DAP=45°,
所以,
所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/af/e/1iesd3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以在四邊形中,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/d2/7/sbnu82.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/a7/a/g9oog.png" style="vertical-align:middle;" />所以（等腰三角形底邊垂線即底邊平分線）.           …4分
②,同理,
所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/7d/3/u6lga1.png" style="vertical-align:middle;" />所以                                       …7分
（2）結(jié)論①成立                                                           …8分
理由同（1）①即可；                                                       …9分
結(jié)論②不成立.                                                             …10分
相應(yīng)的結(jié)論為PA－PC=CE                                             …11分
證明同（1）②.                                                          … 12分
考點(diǎn)：本小題主要考查平面圖形中的探究性問(wèn)題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用平面幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力.
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類問(wèn)題，要靈活運(yùn)用平面幾何知識(shí)（平行、相似、全等等），要注意恰當(dāng)轉(zhuǎn)化.