Question

2．已知數(shù)列{a_m}滿足${a_1}=\frac{3}{2}$，且a_m+1=3a_m-1，${b_m}={a_m}-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_m}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若不等式$\frac{{{b_m}+1}}{{{b_{m+1}}-1}}≤m$對?n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_m+1=3a_m-1，變形為${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$=3$（{a}_{n}-\frac{1}{2}）$，可得b_n+1=3b_n，即可證明．
（Ⅱ）由（1）知，b_n=3^n-1．由不等式$\frac{_{n}+1}{_{n+1}-1}$≤m，代入化為$\frac{1}{3}+\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$≤m，令c_n=$\frac{1}{3}+\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$根據(jù)不等式$\frac{_{n}+1}{_{n+1}-1}$≤m對?m∈N^*恒成立，可得m≥（c_n）_max．即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_m+1=3a_m-1，∴${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$=3$（{a}_{n}-\frac{1}{2}）$，
∵$_{n}={a}_{n}-\frac{1}{2}$，
∴b_n+1=3b_n，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$_{1}={a}_{1}-\frac{1}{2}$=1，公比為3．
（Ⅱ）解：由（1）知，b_n=3^n-1．
由不等式$\frac{_{n}+1}{_{n+1}-1}$≤m，即$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{n}-1}$≤m，即$\frac{1}{3}+\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$≤m，
令c_n=$\frac{1}{3}+\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$，
∵不等式$\frac{_{n}+1}{_{n+1}-1}$≤m對?n∈N^*恒成立，∴m≥（c_n）_max．
由于數(shù)列{c_n}為減數(shù)列，∴（c_n）_max=c₁=1，
∴m≥1．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題