Question

1．設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=（a${\;}^{\frac{5}{6}}$-x）|x|．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）是奇函數(shù)，且關(guān)于x的不等式mx²+m＞f[f（x）]對所有的x∈[-2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1時，可得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（1-x）x，x≥0}\\{（x-1）x，x＜0}\end{array}\right.$，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，求出x＜0，x≥0單調(diào)區(qū)間，從而求出整個f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）f（x）為奇函數(shù)得出a=0，f（x）=-x|x|，進(jìn)一步求得f（f（x））=x³|x|，分離參數(shù)后，再求出m的取值范圍．

解答 解（1）當(dāng)a=1，時，f（x）=（1-x）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{（1-x）x，x≥0}\\{（x-1）x，x＜0}\end{array}\right.$；當(dāng)x≥0時，f（x）在$[0，\frac{1}{2}]$內(nèi)是增函數(shù)，在$（\frac{1}{2}，+∞）$內(nèi)是減函數(shù)；
x＜0時，f（x）在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)．
綜上所述，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間$[0，\frac{1}{2}]$，單調(diào)減區(qū)間為$（-∞，0），（\frac{1}{2}，+∞）$；
（2）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1），
解得a=0；
f（x）=-x|x|，f[f（x）]=x³|x|，即$m＞\frac{{x}^{3}|x|}{{x}^{2}+1}$對所有的x∈[-2，2]恒成立
x²+1∈[1，5]
$\frac{\\;{x}^{3}|x|}{{x}^{2}+1}≤\frac{{x}^{4}}{\\;{x}^{2}+1}={x}^{2}+1+\frac{1}{{x}^{2}+1}-2≤\frac{16}{5}$；
$；m＞\frac{16}{5}$

點(diǎn)評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值，二次函數(shù)和分段函數(shù)單調(diào)函數(shù)單調(diào)性的判斷，奇函數(shù)的定義，分離參數(shù)后用基本不等式