Question

6．如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB、SAC均為邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）欲證SO⊥平面ABC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證SO與平面ABC內(nèi)兩相交直線垂直，而SO⊥BC，SO⊥AO，又AO∩BO=O，滿足定理?xiàng)l件；
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出兩法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵側(cè)面SAB、SAC均為邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)，
∴$OA=OB=OC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}SA$=1，且AO⊥BC，
又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC，
且$SO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}SA$=1，從而OA²+SO²=SA²．
即△SOA為直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
∴SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
∵$OA=OB=OC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}SA$=1
∴B（1，0，0），則C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．
SC的中點(diǎn)$M（{-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}}）$，$\overrightarrow{MO}=（{\frac{1}{2}，0，-\frac{1}{2}}），\overrightarrow{MA}=（{\frac{1}{2}，1，-\frac{1}{2}}），\overrightarrow{SC}=（-1，0，-1）$．
∴$\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{SC}=0，\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{SC}=0$．
故$MO⊥SC，MA⊥SC，＜\overrightarrow{MO}，\overrightarrow{MA}＞$等于二面角A-SC-B的平面角．
$cos＜\overrightarrow{MO}，\overrightarrow{MA}＞=\frac{{\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{MA}}}{{|{\overrightarrow{MO}}|•|{\overrightarrow{MA}}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故二面角A-SC-B的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與平面垂直，以及二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．建立坐標(biāo)系利用向量法是解決二面角的常用方法．