Question

設二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+c（b＞0）若對任意的x∈R恒有f（x）≥0成立，則

f(2)

f(-1)-f(1)

的最小值等于

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式

分析：首先利用二次函數(shù)f（x）≥0恒成立，解得：4b²≤ac，進一步確定c＞0，通過對結果的恒等變換轉化成

a

2b

+

c

8b

-1，最后利用均值不等式求的結果．

解答： 解：二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+c（b＞0）若對任意的x∈R恒有f（x）≥0成立．
則：△=16b²-4ac≤0
即：4b²≤ac
所以：c＞0
則：f（-1）=a+4b+c
f（1）=a-4b+c
f（-1）-f（1）=8b

f(2)

f(-1)-f(1)

=

4a-8b+c

8b

=

a

2b

+

c

8b

-1
利用均值不等式

a

2b

+

c

8b

≥2

ac 16b2

≥1
所以：

a

2b

+

c

8b

-1≥0
即

f(2)

f(-1)-f(1)

的最小值為：0

點評：本題考查的知識要點：二次函數(shù)f（x）≥0的條件，均值不等式的應用及相關的運算問題．