Question

14．已知圓心坐標(biāo)為$（1，\sqrt{3}）$的圓M與y軸及直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x相切于A、B兩點(diǎn)，另一圓N₁與圓M外切（圓N₁在圓M的斜上方），且與y軸及直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x分別切于C、D兩點(diǎn)．（如圖）
（1）求圓N₁的方程．
（2）求線段AC的長(zhǎng)．
（3）仿N₁作一系列圓N_k（k≥2）圓N_k與圓N_k-1外切，（圓N_k在圓N_k-1的斜上方）與y軸及y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x相切，圓N_k的圓心坐標(biāo)為（x_k，y_k），求數(shù)列{x_k}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）利用圓的定義及性質(zhì)求解；（2）兩點(diǎn)間的間距離公式求解；（3）根據(jù)切點(diǎn)的規(guī)律特征，找出相鄰兩切點(diǎn)間遞推關(guān)系，利用數(shù)列的知識(shí)求解．

解答 解：（1）設(shè)圖N₁的圓心${N_1}（a，b）（b＞\frac{{\sqrt{3}a}}{3}）$∵圓N₁與y軸相切∴r=a①∵圓N₁與$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$相切∴$\frac{{|{\sqrt{3}a-3b}|}}{{{{\sqrt{3}}^2}+{3^2}}}=a$②
又圓m的半徑r₁=1，圓心$m（1，\sqrt{3）}$|N₁m|=r₁+r=1+r，即$\sqrt{{{（a-1）}^2}+（b-{{\sqrt{3）}}^2}=1+a}$③
由①②③$a=3，b=3\sqrt{3}$∴圓N₁的方程為：${（x-3）^2}+{（y-3\sqrt{3}）^2}=3$…（4分）
（2）由已知可得$A（0，\sqrt{3}）$，$C（0，3\sqrt{3}）$∴$|{AC}|=3\sqrt{3}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}$…（6分）
（3）圓N_k，N_k-1與$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$相切∴可證${y_k}=\sqrt{3}{x_k}$，N_k（x_k，y_k）即$（{x_k}，\sqrt{3}{x_k}）$，N_k-1（x_k-1，y_k-1）即$（{x_{k-1}}，\sqrt{3}{x_{k-1}}）$，
又圓$N_k^{\;}$與圓$N_{k-1}^{\;}$外切∴|N_kN_k-1|=r_kr_k-1，又圓$N_k^{\;}$與y軸相切∴r_k=x_k
即$\sqrt{（{x_k}-{x_{k-1}}）2+（\sqrt{3}{x_k}-\sqrt{3}{x_k}_{-1}）2}={x_k}+{x_{k-1}}$
化簡(jiǎn)證2|x_k-x_k-1|=x_k+x_k-1
又x_k＞x_k-1∴$\frac{x_k}{{{x_{k-}}_1}}=3$∴{x_k}是以x₁=3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列∴x_k=3×3^k-1=3 ^k…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程，兩點(diǎn)間的間距離公式及數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．