Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+bx（其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，3）、（2，3）兩點(diǎn)．
（ I）求a，b的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（ II）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求出a，b，用奇偶性的定義判斷即可；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過（1，3）、（2，3）兩點(diǎn)
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{\frac{a}{2}+2b=3}\end{array}\right.$，得a=2，b=1，
∴函數(shù)解析$f（x）=\frac{2}{x}+x$，定義域?yàn)椋海?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又∵$f（-x）=\frac{2}{-x}+（-x）=-（\frac{2}{x}+x）=-f（x）$，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；                       
（ II）設(shè)任意的${x}_{1}，{x}_{2}∈[\sqrt{2}，+∞）$，且x₁＜x₂，
∵$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{x}_{1}}+{x}_{1}-\frac{2}{{x}_{2}}-{x}_{2}$
=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}-（{x}_{2}-{x}_{1}）=（{x}_{2}-{x}_{1}）•\frac{2-{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵$\sqrt{2}≤{x}_{1}＜{x}_{2}$，
∴x₂-x₁＞0，且2-x₁x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\sqrt{2}，+∞）$上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性．判斷奇偶性注意定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是必要條件；證明單調(diào)性問題關(guān)鍵是第二步作差，正確變形是關(guān)鍵．