Question

2．已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），x，y∈R}，有下列命題
①若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，則f（x）∈M；
②若f（x）=2x，則f（x）∈M；
③f（x）∈M，則y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
④f（x）∈M，則對于任意實數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），總有$\frac{{f}_{\;}（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立；
其中所有正確命題的序號是②③．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 逐項判斷即可．①分別討論x，y的符號，代入條件等式一判斷；②直接代入檢驗即可；③利用賦值法可得；④舉反例即可判斷．

解答 解：①若x=3，y=1，則f²（x）-f²（y）=1-1=0，f（x+y）f（x-y）=f（4）f（2）=1，不滿足集合條件，故f（x）∉M，故①錯誤；
②由f（x）=2x得：f²（x）-f²（y）=4x²-4y²，f（x+y）f（x-y）=2（x+y）•2（x-y）=4x²-4y²，滿足等式，故f（x）∈M，故②正確；
③由題意知，函數(shù)f（x）滿足f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），令x=y=0得：f（0）=0；再令x=0得：-f²（y）=f（y）f（-y），即有f（y）[f（y）+f（-y）]=0，所以f（y）=0或f（-y）=-f（y），當(dāng)f（y）=0時，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，當(dāng)f（-y）=-f（y）時，函數(shù)為奇函數(shù)，圖象也關(guān)于原點對稱，故③正確；④取f（x）=-x，因為f²（x）-f²（y）=x²-y²，f（x+y）f（x-y）=-（x+y）（y-x）=x²-y²，所以f（x）∈M，而f（x）=-x為減函數(shù)，故④錯誤．
綜上可得：②③正確．
故答案為：②③．

點評 本題是一道創(chuàng)新題，解題關(guān)鍵在于正確理解集合M中元素所滿足的關(guān)系，考查了分析問題和解決問題的能力．屬于中檔題．