Question

【題目】已知函數(shù) .
（Ⅰ）當 時，求函數(shù) 在 處的切線方程；
（Ⅱ）試判斷函數(shù) 零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當 時， ， ，
∵ ， ，∴ 在 處的切線方程為 ，即 ；
（Ⅱ）由題知， 的定義域為 ，
.
①當 時，對于定義域中任意 ，有 ， 在 上是增函數(shù).
又 ，并且當 時， ，∴ 有唯一的零點；
②當 時，在 上 ， 單調(diào)遞減；在 上， ， 單調(diào)遞增.
又當 時， ，并且 .這是因為： .
設 ，則 .記 ，則 .
∵在 上， ， 單調(diào)遞減；在 上， ， 單調(diào)遞增，
∴ 的最小值為 ，即 成立，∴在區(qū)間 內(nèi)存在一點 ，使得 .
則函數(shù) 零點的個數(shù)取決于 的最小值的正負.又函數(shù) 的最小值為 .記 ，則 是 上的增函數(shù).又觀察，得 ，∴當 時， 的最小值小于0，即 有兩個零點；
當 時， 的最小值為0， 有唯一的零點；當 時， 的最小值大于0， 沒有零點.
綜上所述，當 或 時， 有唯一的零點；當 時， 有兩個零點；當 時， 沒有零點
【解析】(1)由題意把a的值代入函數(shù)的解析式，對其求導并把x=1的值代入導函數(shù)的代數(shù)式，求出切線的方程的斜率再由點斜式求出直線的方程。(2)首先求出原函數(shù)的導函數(shù)，對a分情況討論出導函數(shù)的正負進而得出原函數(shù)的單調(diào)性，從而得出原函數(shù)的零點存在情況即可。