【題目】已知, 為實(shí)數(shù),函數(shù),函數(shù)

(1) 當(dāng)時(shí),令,若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2) 當(dāng)時(shí),令,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù),均存在實(shí)數(shù),有成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值集合;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析:1恒成立,等價(jià)于恒成立利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值即可得結(jié)果;(2) 時(shí) ,對(duì) 分兩種情況討論,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(需要兩次求導(dǎo)),利用單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象,排除不合題意的值進(jìn)而可得

試題解析:(1) 當(dāng)時(shí), 上遞增,在 上遞減,可得的最大值為所以可得.

(2) 當(dāng)a=-1時(shí),假設(shè)存在實(shí)數(shù)b滿(mǎn)足條件,則G(x)=lnx≥1在x∈(0,1)∪(1,+∞)上恒成立.

1) 當(dāng)x∈(01)時(shí),G(x)lnx≥1可化為(bx+1-b)lnxx1≤0,

令H(x)=(bx+1-b)lnxx1,x∈(01),

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:H(x)≤0對(duì)任意x∈(01)恒成立(*);

則H(1)=0,H′(x)blnxb1,H′(1)0.

令Q(x)=blnxb1則Q′(x)=.

① b≤時(shí),因?yàn)閎(x+1)-1≤ (x1)1<×210,

故Q′(x)<0,所以函數(shù)y=Q(x)在x∈(0,1)時(shí)單調(diào)遞減,Q(x)>Q(1)0,

即H′(x)>0,從而函數(shù)y=H(x)在x∈(0,1)時(shí)單調(diào)遞增,

故H(x)<H(1)=0,所以(*)成立,滿(mǎn)足題意;

當(dāng)b>Q′(x),

因?yàn)閎>所以1<1,記I=∩(0,1),則當(dāng)x∈I時(shí),x>0

故Q′(x)>0,所以函數(shù)y=Q(x)在x∈I時(shí)單調(diào)遞增,Q(x)<Q(1)0,

即H′(x)<0,從而函數(shù)y=H(x)在x∈I時(shí)單調(diào)遞減,所以H(x)>H(1)=0此時(shí)(*)不成立;

所以當(dāng)x∈(01),G(x)lnx≥1恒成立時(shí)b≤;

2) 當(dāng)x∈(1+∞)時(shí),G(x)lnx≥1可化為(bx+1-b)lnxx1≥0

令H(x)=(bx+1-b)lnxx1,x∈(1,+∞),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:

H(x)≥0對(duì)任意的x∈(1,+∞)恒成立(**);則H(1)=0,H′(x)blnxb1,H′(1)0.

令Q(x)=blnxb1,則Q′(x)=.

① b≥時(shí)b(x1)1>2b1≥×210

故 Q′(x)>0,所以函數(shù)y=Q(x)在x∈(1+∞)時(shí)單調(diào)遞增,Q(x)>Q(1)0即H′(x)>0,

從而函數(shù)y=H(x)在x∈(1,+∞)時(shí)單調(diào)遞增所以H(x)>H(1)=0,此時(shí)(**)成立;

當(dāng)b<時(shí),

) 若 b≤0必有Q′(x)<0,故函數(shù)y=Q(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減,

所以Q(x)<Q(1)0即H′(x)<0,

從而函數(shù)y=H(x)在x∈(1+∞)時(shí)單調(diào)遞減,所以H(x)<H(1)0,此時(shí)(**)不成立;

) 若0<b<,1>1所以x∈時(shí),Q′(x)<0

故函數(shù)y=Q(x)在x∈上單調(diào)遞減,Q(x)<Q(1)0,即H′(x)<0

所以函數(shù)y=H(x)在x∈時(shí)單調(diào)遞減,所以H(x)<H(1)0,此時(shí)(**)不成立;

所以當(dāng)x∈(1,+∞),G(x)lnx≥1恒成立時(shí),b≥.(15分)

綜上所述當(dāng)x∈(0,1)∪(1,+∞),G(x)lnx≥1恒成立時(shí),b,從而實(shí)數(shù)b的取值集合為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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一年級(jí)

二年級(jí)

三年級(jí)

男同學(xué)

A

B

C

女同學(xué)

X

Y

Z

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