已知⊙O:x2+y2=9,點(diǎn)A(2,2),過A作兩條互相垂直的弦CD和EF.
(1)求證:CD2+EF2為定值;
(2)求四邊形CDEF的面積的最大值;
(3)求弦CD與EF的長(zhǎng)之和的最大值;
(4)求△OEF的面積的最大值;
(5)點(diǎn)B(1,1),過B點(diǎn)作一條直線l交⊙O于K、H,求△OKH面積的最大值.
考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系
專題:直線與圓
分析:按照?qǐng)A的半徑與半弦長(zhǎng)以及弦心距之間的關(guān)系結(jié)合基本不等式求最值.
解答: 解:(1)取CD的中點(diǎn)M、EF的中點(diǎn)N,則由弦的性質(zhì)可得OMAN為矩形,
∴OM2+ON2=OA2=8.
∵OD2-OM2=(
CD
2
)
2
,OE2-ON2=(
EF
2
)
2
,即 9-OM2=(
CD
2
)
2
,9-ON2=(
EF
2
)
2
,
∴9-8=(
CD
2
)
2
+(
EF
2
)
2
,
∴CD2+EF2=4.
(2)∵圓O的方程為:x2+y2=9,
∴圓心O坐標(biāo)(0,0),半徑r=3,
設(shè)圓心O到CD、EF的距離分別為d1、d2,
∵A(2,2),∴d12+d22=OA2=8,
又CD=2
r2-d12
=2
9-d12
,EF=2
r2-d22
=2
9-d22

∴四邊形CDEF的面積S=
1
2
CD•EF=2
r2-d22
9-d22
≤(9-d12)+(9-d22)=18-8=10,
當(dāng)且僅當(dāng)d12 =d22時(shí)取等號(hào),
∴四邊形CDEF面積的最大值為10.
(3)由(1)結(jié)合基本不等式得(|CD|+|EF|)2≤2(|CD|2+|EF|2)=8,
當(dāng)且僅當(dāng)|CD|=|EF|=
2
時(shí),|CD|+|EF|的最大值為2
2

(4)△OEF的面積=
1
2
×EF×d2
=
1
2
×2
9-d22
d2
=
(9-d22)d22
9-d22+d22
2
=
9
2
;
所以△OEF的面積的最大值為
9
2
;
(5)點(diǎn)B(1,1),過B點(diǎn)作一條直線l交⊙O于K、H,則△OKH面積為
1
2
×KH×d
=
1
2
×2×
9-d2
d
9
2
,所以△OKH面積的最大值
9
2
點(diǎn)評(píng):本題給出圓內(nèi)經(jīng)過定點(diǎn)的互相垂直的兩條直線,求它們長(zhǎng)度和的最大值.著重考查了垂徑定理、直線與圓的位置關(guān)系和運(yùn)用基本不等式求最值等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
log2x,x>0
3x,x≤0
則方程f(x)=1解的個(gè)數(shù)為(  )
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R.
(Ⅰ)若a<0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若a=-1,函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=
1
3
x3+
1
2
x2+m的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

判斷f(x)=
x
x2-1
在(-1,1)上的單調(diào)性并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,P、Q分別是線段AD1和B1C上的動(dòng)點(diǎn),且滿足AP=B1Q,則下列命題正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號(hào)).
①存在P、Q的某一位置,使AB∥PQ;
②△BPQ的面積為定值;
③當(dāng)PA>0時(shí),直線PB1與AQ是異面直線;
④無(wú)論P(yáng)、Q運(yùn)動(dòng)到任一位置,均有BC⊥PQ;
⑤P、Q在運(yùn)動(dòng)過程中,線段PQ在平面BCC1B1內(nèi)的射影所形成區(qū)域的面積為
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知{an}是首項(xiàng)為1的遞增等差數(shù)列且a22=S3
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
2
anan+1
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,若對(duì)任意的n∈N*,不等式λTn<n+8×(-1)n恒成立,求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列三個(gè)等式:f(xy)=f(x)+f(y),f(x+y)=f(x)f(y),f(x+y)=f(x)+f(y),下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是( 。
A、f(x)=3x
B、f(x)=x
C、f(x)=log2x
D、f(x)=x2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x|(x-2a)(x+a-1)≤0},B={x|
x-3
x+2
>0},若A∪B=R,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下三個(gè)運(yùn)算題中,運(yùn)算結(jié)果正確的有( 。
①設(shè)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2009(a、b、α、β均為常數(shù)),若f(2008)=2010,則f(2011)=2010;
②若α∈(0,
π
3
),則3|log3sinα|=
1
sinα

③若cos(π+x)=-
3
2
,x∈(-π,π),則x=
π
6
A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)

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