Question

8．在直角坐標系xoy中，直線l的方程為x-y+4=0．以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0．
（1）求直線l的極坐標方程，曲線C的直角坐標方程；
（2）若點P曲線C上任意一點，P點的直角坐標為（x，y），求x+2y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得直線l的極坐標方程．把曲線C的極坐標方程展開可得：ρ²-4$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）+6=0，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²代入即可得出直角坐標方程．
（2）x²+y²-4x-4y+6=0，配方化為：（x-2）²+（y-2）²=2，圓心C（2，2），半徑r=$\sqrt{2}$．設x+2y=t，則圓心C到直線的距離d=$\frac{|2+4-t|}{\sqrt{5}}$≤$\sqrt{2}$，解出即可得出．

解答 解：（1）直線l的方程為x-y+4=0．把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得直線l的極坐標方程：ρcosθ-ρsinθ+4=0．
曲線C的極坐標方程為ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，展開可得：ρ²-4$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）+6=0，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²代入可得：x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）x²+y²-4x-4y+6=0，配方化為：（x-2）²+（y-2）²=2，圓心C（2，2），半徑r=$\sqrt{2}$．
設x+2y=t，則圓心C到直線的距離d=$\frac{|2+4-t|}{\sqrt{5}}$≤$\sqrt{2}$，
解得$10-\sqrt{6}$≤t≤10+$\sqrt{6}$．
∴x+2y的最小值和最大值分別為：$10-\sqrt{6}$；10+$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、直線與圓的位置關系、和差化積，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．