Question

18．如圖，扇形AOB是某個旅游景點的平面示意圖，圓心角AOB的大小等于$\frac{π}{3}$，半徑OA=200m，點M在半徑OA上，點N在$\widehat{AB}$上，且MN∥OB，求觀光道路OM與MN長度之和的最大值．

Answer 1

分析 連接ON，設(shè)∠MON=θ，則0＜θ＜$\frac{π}{3}$，在△MON中由正弦定理可得MN=$\frac{400}{\sqrt{3}}$sin θ，OM=$\frac{400}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），化簡MN+OM由三角函數(shù)的最值可得．

解答 解：連接ON，設(shè)∠MON=θ，則0＜θ＜$\frac{π}{3}$，
在△MON中，ON=200，∠OMN=$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{200}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{MN}{sinθ}$=$\frac{OM}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$，
∴MN=$\frac{400}{\sqrt{3}}$sinθ，OM=$\frac{400}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），
∴MN+OM=$\frac{400}{\sqrt{3}}$[sin θ+sin（$\frac{π}{3}$-θ）]
=$\frac{400}{\sqrt{3}}$（ sin θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos θ-$\frac{1}{2}$sin θ）=$\frac{400}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$+θ），
∵0＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$+θ＜$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時，sin（$\frac{π}{3}$+θ）=1 最大，MN+OM最大，
其最大值是$\frac{400}{3}$$\sqrt{3}$m．

點評 本題考查弧度制和正弦定理以及三角函數(shù)的最值，屬中檔題．