Question

3．在三角形ABC中AB=a，AC=b（b＞0，a＞0），P是三角形ABC的外心，數(shù)量積$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BC}$等于（　　）

• A． $\frac{a+b}{2}$
• B． a+b
• C． $\frac{{a}^{2}-^{2}}{2}$
• D． $\frac{^{2}-{a}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BC}$，根據(jù)外心的性質(zhì)可得出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=\frac{{a}^{2}}{2}$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=\frac{^{2}}{2}$．

解答 解：過P作PM⊥AB，PN⊥AC，則M，N分別是AB，AC的中點，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=AB•AP•cos∠PAB=AB•AM=a•$\frac{a}{2}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$．
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=AC•AP•cos∠PAC=AC•AN=b$•\frac{2}$=$\frac{^{2}}{2}$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量級運算，屬于中檔題．