設圓M:x2+y2=8,將圓上每一點的橫坐標不變,縱坐標壓縮到原來的,得到曲線C.點M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交曲線C于A、B兩個不同點.
(1)求曲線C的方程;
(2)求m的取值范圍.
【答案】分析:(1)在曲線C上任取一個動點P(x,y),根據(jù)圖象的變換可知點(x,2y)在圓x2+y2=8上.代入圓方程即可求得x和y的關系式,即曲線C的方程.
(2)根據(jù)題意可得直線l的方程,進而與橢圓方程聯(lián)立,消去y,進而根據(jù)判別式大于0求得m的范圍,進而根據(jù)m≠0,最后綜合可得答案.
解答:解:(1)在曲線C上任取一個動點P(x,y),則點(x,2y)在圓x2+y2=8上.
所以有x2+(2y)2=8,即曲線C的方程為
(2)∵直線l平行于OM,且在y軸上的截距為m,又kOM=,
∴直線l的方程為y=x+m.
,得x2+2mx+2m2-4=0.
又∵直線l交曲線C于A、B兩個不同點,
∴△=(2m)2-4(2m2-4)>0,解得-2<m<2,
又∵m≠0,
∴m的取值范圍是-2<m<0或0<m<2.
點評:本題主要考查了橢圓的標準方程,直線與橢圓的關系.考查了學生分析問題的能力及數(shù)學化歸思想.
練習冊系列答案
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,對應的橫坐標不變,得到曲線C.經(jīng)過點M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交曲線C于A、B兩個不同點.
(1)求曲線C的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

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