設(shè)圓M:x2+y2=8,將曲線上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的,對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)不變,得到曲線C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交曲線C于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求曲線C的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.
【答案】分析:(1)在曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則點(diǎn)(x,2y)在圓x2+y2=8上.所以有x2+(2y)2=8.整理后就得到曲線C的方程.
(2)由題設(shè)條件可知直線l的方程為.聯(lián)立方程組后根據(jù)直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)可知△>0,由此能夠推導(dǎo)出m的取值范圍.
(3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可.
解答:解:(1)在曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則點(diǎn)(x,2y)在圓x2+y2=8上.所以有x2+(2y)2=8.整理得曲線C的方程為
它表示一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.
(2)∵直線l平行于OM,且在y軸上的截距為m,又,
∴直線l的方程為
,
∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn),∴△=(2m)2-4(2m2-4)>0,
解得-2<m<2且m≠0.∴m的取值范圍是-2<m<0或0<m<2.
(3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,A(x1,y1),B(x2,y2),,,由x2+2mx+2m2-4=0可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4.===
k1+k2=0.故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查橢圓和直線的位置關(guān)系,難度較大,解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用,仔細(xì)審題,避免不必要的錯(cuò)誤.
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