Question

17．求函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a}$+$\frac{a}{x}$（a＞0）在x∈[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 先用基本不等式得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，再對(duì)參數(shù)a分三類討論，求出各范圍的最小值，最后再綜合．

解答 解：根據(jù)基本不定式，$\frac{x}{a}$+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{a}•\frac{a}{x}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)：x=a時(shí)，取“=”，
所以，函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值需討論如下：
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（1）=a+$\frac{1}{a}$；
②當(dāng)1≤a≤2時(shí)，f（x）的最小值已由基本不等式得出，
即f（x）_min=f（a）=2；
③當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)單調(diào)遞減，
所以，f（x）_min=f（2）=$\frac{2}{a}$+$\frac{a}{2}$．
綜合以上討論得，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{1}{a}，a∈（0，1）}\\{2，a∈[1，2]}\\{\frac{2}{a}+\frac{a}{2}，a∈（2，+∞）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用基本不等式求最值，以及雙勾函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，還體現(xiàn)了分類討論的思想，屬于中檔題．